Движение тел по окружности в природе



Кинематика. Равномерное движение по окружности.

Такое движение совершают точки вращающихся колес, роторов турбин, искуственные спутники, вращающиеся по орбитам и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.

Скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом можно убедиться, наблюдая за работой точила, имеющего форму диска: прижав к вращающемуся камню конец стального прута можно увидеть отрывающиеся от камня раскаленные частицы. Эти частицы летят с той скоростью, которой они обладали в момент отрыва от камня. Направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня. По касательной к окружности движутся также брызги от колес буксующего автомобиля.

Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различные направления, тогда как модуль скорости может быть или всюду одинаковым, или изменяться от точки к точке. Но даже если модуль скорости не изменяется, ее все равно нельзя считать постоянной. Ведь скорость – величина векторная, а для векторных величин модуль и направление одинаково важны. Поэтому криволинейное движение всегда ускоренное, даже если модуль скорости постоянен.

При криволинейном движении могут изменяться модуль скорости и ее направление. Криволинейное движение, при котором модуль скорости остается постоянным, называют равномерным криволинейным движением. Ускорение при таком движении связано только с изменением направления вектора скорости.

И модуль, и направление ускорения должны зависеть от формы кривлинейной траектории. Однако нет необходимости рассматривать каждую из ее бесчисленных форм. Представив каждый участок как отдельную окружность с некоторым радиусом, задача нахождения ускорения при криволинейном равномерном движении сведется к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.

Равномерное движение по окружности характеризуется периодом и частотой обращения.

Время, за которое тело делает один оборот, называют периодом обращения.

При равномерном движении по окружности период обращения определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности

на скорость движения:

Величина, обратная периоду, называется частотой обращения, обозначается буквой ν. Число оборотов в единицу времени ν называют частотой обращения:

Из-за непрерывного изменения направления скорости, движущееся по окружности тело имеет ускорение, которое характеризует быстроту изменения ее направления, численное значение скорости в данном случае не меняется.

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке всегда направлено перпендикулярно скорости движения по радиусу окружности к ее центру и называется центростремительным ускорением.

Чтобы найти его значение, рассмотрим отношение изменения вектора скорости

Источник

Движение тела по окружности

Что такое движение тела по окружности Искусственные спутники Земли

При равномерном движении точки по окружности или при вращении тела различают угловую и линейную скорости. Угловая скорость ω может быть выражена через количество оборотов N, совершенных телом в 1 сек (N об/сек), или через период обращения (время одного полного оборота): Т = (1/N)сек.

Принимая во внимание, что одному обороту соответствует угол φ =2π рад, то

ω = 2πN = (2π/Т) рад/сек

Линейной скоростью υ называется скорость, с которой точка двигается по окружности. Она равняется произведению угловой скорости ω на радиус R окружности

υ = ωR

и направлена по касательной к окружности. Единицы измерения линейной скорости в системе СГС — см/сек или в системе СИ — м/сек.

Что такое центробежная сила

Для того чтобы материальная точка двигалась равномерно по окружности, ее скорость должна, оставаясь постоянной по величине, все время изменять направление. Это направление при любом положении точки должно быть по касательной к окружности. Для этого на точку должна действовать сила, направленная перпендикулярно к касательной, т. е. к центру окружности (рис. 2). Такая сила называется центростремительной Fц она создает центростремительное ускорение ац точки.

Пусть (см. рис. 2) линейная скорость точки, двигающейся по окружности в некоторый момент времени (в точке А), изображается вектором AC=υ, а через достаточно малый промежуток времени (в точке В) вектором BD = υ‘, При этом радиус точки поворачивается на угол ∆φ. Перенесем вектор скорости υв точку А (вектор АЕ). Вектор СЕ есть изменение скорости ∆υ за промежуток времени ∆t. Отношение его к промежутку времени есть центростремительное ускорение точки:

При малом угле при вершине треугольника CAE, равному углу ∆φ поворота радиуса точки, отрезок ∆υ можно заменить дугой окружности с центром в точке А и радиусом υ. Тогда ∆υ = υ∆φ.

Подставляя это выражение для ускорения, получим: аи = ∆υ/∆t = (υ∆φ)/∆t

Вводя значения угловой скорости ω = ∆φ/∆t можно получить два равносильных выражения:

ац = υ 2 /R = ω 2 R

где R — радиус окружности, по которой двигается точка.

Центростремительное ускорение численно равняется отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности, по которой тело двигается или произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности.

Соответственно величина центростремительной силы Fц может быть выражена как произведение массы т точки на центростремительное ускорение ац:

Fц = mац = m(υ 2 /R) = mω 2 R.

Природа центробежной силы

Центростремительная сила может иметь различную природу. В механических системах она создается вследствие упругой деформации тела, которое связывает точку с центром окружности (на рис. 3, а оно показано в виде пружины П, на рис. 3, б—направляющего бортика Б), вследствие трения между телом и окружающей средой и т. п. В электрических системах — вследствие взаимного притяжения между заряженными телами, например между ядром и электронами в атоме и т. д.

Читайте также:  Питание растениями на дикой природе

Центростремительная сила, приложенная к телу, двигающемуся по «окружности, по третьему закону Ньютона вызывает равную по величине и противоположную по знаку силу, которая приложена к связи или направляющей. Эту силу называют центробежной реакцией или не совсем правильно центробежной силой.

В планетарных системах небесных тел центростремительная сила создается взаимным притяжением этих тел, например Солнца и Земли, Земли и Луны и т. д. Здесь уместно сказать и об искусственных спутниках Земли. Первый искусственный спутник Земли был создан в Советском Союзе и запущен в космос 4 октября 1957 г.

Первые искусственные спутники земли

Спутник имел форму шара диаметром 58 см, в котором размещалась исследовательская аппаратура, и массу 83,6 кг. 3 ноября 1957 г. был запущен второй искусственный спутник массой 508,3 кг. 15 мая 1958 г. был произведен запуск третьего спутника массой уже 1327 кг. Спутник имел конусообразную форму с диаметром основания 1,73 м и высотой 3,57 м и представлял собой хорошо оснащенную космическую лабораторию. Искусственные спутники земли запускаются теперь с научно-исследовательскими целями систематически.

В 1961 г. 12 апреля в СССР впервые в истории человечества был выведен на орбиту космический корабль «Восток-1» с первым летчиком-космонавтом Ю. А. Гагариным. Советские космические корабли (Восток-2—

Восток-6) выводились на орбиту в 1961 г. 12 апреля и 6 августа, в 1962 г. 11 и 12 августа, в 1963 г. 14 и 16 июня. В 1964 г. 12 октября был выведен на орбиту корабль нового типа (Восход-1) с тремя космонавтами на борту и в 1965 г. 18 марта (Восход-2) — с двумя.

Запуск искусственных спутников земли и космических кораблей осуществляется с помощью многоступенчатых ракет. Ракета сначала поднимается вертикально вверх, затем постепенно отклоняется в сторону и, ускоряясь в своем движении, достигает необходимой скорости, направленной параллельно касательной к земной поверхности. В этот момент спутник, отделяется от ракеты и продолжает движение только под действием земного притяжения, которое является для него центростремительной силой.

Скорость υк, необходимую для выхода спутника на орбиту, можно определить, если приравнять центростремительное ускорение ац к ускорению g силы земного притяжения.

Где Rк — радиус орбиты. Принимая Rк ≈ 6500 км (радиус Земли в среднем 6370 км плюс 130 км — высота спутника над землей) и на этой высоте g = 9,4 м/сек 2 , получим:

Источник

Равномерное движение тела по окружности

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ​ \( T \) ​ — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ​ \( [\,T\,] \) ​ = 1 с.

Частота обращения ​ \( (n) \) ​ — число полных оборотов тела за одну секунду: ​ \( n=N/t \) ​. Единица частоты обращения — \( [\,n\,] \) = 1 с -1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ​ \( n=1/T \) ​.

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ​ \( t \) ​ переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ​ \( \varphi \) ​.

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ​ \( \omega \) ​ — физическая величина, равная отношению угла поворота \( \varphi \) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ​ \( \omega=\varphi/t \) ​. Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ​ \( [\,\omega\,] \) ​ = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ​ \( 2\pi \) ​. Поэтому ​ \( \omega=2\pi/T \) ​.

Линейная скорость тела ​ \( v \) ​ — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ​ \( \vec=l/t \) ​. За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ​ \( \vec=2\pi\!R/T \) ​. Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ​ \( v=\omega R \) ​.

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ​ \( \vec=\frac<\Delta\vec> \) ​ и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Читайте также:  Сочинения по литературе на тему роль природы в жизни человека

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ​ \( a=\frac \) ​. Так как ​ \( v=\omega R \) ​, то ​ \( a=\omega^2R \) ​.

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ​ \( R_1 \) ​ от центра вращающегося колеса, равна ​ \( v_1 \) ​. Чему равна скорость ​ \( v_2 \) ​ точки 2, находящейся от центра на расстоянии ​ \( R_2=4R_1 \) ​?

1) ​ \( v_2=v_1 \) ​
2) ​ \( v_2=2v_1 \) ​
3) ​ \( v_2=0,25v_1 \) ​
4) ​ \( v_2=4v_1 \) ​

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ​ \( T=2\pi\!Rv \) ​
2) \( T=2\pi\!R/v \) ​
3) \( T=2\pi v \) ​
4) \( T=2\pi/v \) ​

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ​ \( \omega=a^2R \) ​
2) \( \omega=vR^2 \) ​
3) \( \omega=vR \)
4) \( \omega=v/R \) ​

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10 -4 с
4) 5·10 -6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ​ \( 1/T \) ​
2) ​ \( v^2/R \) ​
3) ​ \( v/R \) ​
4) ​ \( \omega R \) ​
5) ​ \( 1/n \) ​

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

Источник

Движение по окружности: формулы и расчеты

Перемещение тел по окружности достаточно распространено в нашей жизни и в природе. Яркими примерами этого типа перемещения являются вращения ветровых мельниц, планет вокруг своих звезд и колес транспортных средств. В данной статье рассмотрим, какими формулами движение по окружности тел описывается.

Перемещение по окружности и по прямой линии в физике

В физике вопросами движения занимается кинематика. Она устанавливает связь между величинами, описывающими этот процесс. В динамике также уделяется внимание движению, однако она ориентирована на описание причин его возникновения. Другими словами, если для кинематики главными физическими величинами являются путь и скорость, то для динамики — это действующие на тела силы.

В физике принято выделять два идеальных типа траекторий движения:

  • прямая линия;
  • окружность.

Математический аппарат для описания движения по обоим типам траекторий развит настолько хорошо, что понимание формул, например для прямолинейного движения, автоматически приводит к пониманию выражений для движения по окружности. Единственная принципиальная разница между формулами указанных типов перемещения заключается в том, что для движения по окружности удобно использовать угловые характеристики, а не линейные.

Далее в статье будем рассматривать исключительно кинематические формулы движения по окружности тел, не вдаваясь в подробности динамики.

Угловые характеристики движения: угол поворота

Прежде чем записывать формулы движения по окружности в физике, следует ввести величины, которые будут фигурировать в этих формулах.

Читайте также:  Сочинение по русскому на тему уголки природы нашей

Начнем с угла поворота. Будем обозначать его греческой буквой θ (тета). Поскольку вращение предполагает движение точки вдоль одной и той же окружности, то значение угла поворота θ за определенный промежуток времени можно использовать для определения количества оборотов, которое сделала эта точка. Напомним, что вся окружность равна 2*pi радиан, или 360 o . Тогда формула для числа оборотов n через угол θ примет вид:

Здесь и далее во всех формулах угол выражается в радианах.

Пользуясь известным углом θ, также можно определить линейное расстояние, которое точка прошла вдоль окружности. Это расстояние будет равно:

Здесь r — радиус рассматриваемой окружности.

Угловая скорость и ускорение

Кинематические формулы движения по окружности точки предполагают также использование понятий угловой скорости и углового ускорения. Обозначим первую буквой ω (омега), а вторую буквой α (альфа).

Физический смысл угловой скорости ω прост: эта величина показывает, на какой угол в радианах поворачивается точка за каждую секунду времени. Данное определение имеет следующее математическое представление:

Эта формула скорости движения по окружности записана в дифференциальной форме. Полученная с ее помощью величина ω называется мгновенной скоростью. Ее удобно использовать, если движение не является равномерным, то есть происходит с переменной скоростью.

Угловое ускорение α — это величина, которая описывает быстроту изменения скорости ω, то есть:

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду квадратную (рад/с 2 ). Так, 1 рад/с 2 означает, что тело увеличивает за каждую секунду времени скорость на 1 рад/с.

Учитывая выражение для ω, записанное выше, равенство можно представить в такой форме:

В зависимости от особенностей движения по окружности величина α может быть постоянной, переменной или нулевой.

Равномерное движение

Когда на вращающееся тело не действует никакая внешняя сила, то угловая скорость будет оставаться постоянной сколь угодно длительное время. Такое движение получило название равномерного вращения. Оно описывается следующей формулой:

В этом выражении переменными являются всего две величины: t и θ. Скорость ω = const.

Следует отметить один важный момент: нулю равна лишь равнодействующая внешних сил на тело, внутренние же силы, действующие в системе, нулю не равны. Так, внутренняя сила заставляет вращающееся тело изменять свою прямолинейную траекторию на криволинейную (окружность). Эта сила приводит к появлению центростремительного ускорения. Последнее не изменяет ни скорость ω, ни линейную скорость v, оно лишь изменяет направление движения.

Равноускоренное движение по окружности

Формулы для этого типа перемещения можно получить непосредственно из приведенных математических выражений для величин ω и α. Равноускоренное движение предполагает, что за более-менее длительный промежуток времени модуль и направление ускорения α не изменяются. Благодаря этому можно проинтегрировать дифференциальное выражение для α и получить следующие две формулы:

Очевидно, что в первом случае движение будет равноускоренным, во втором — равнозамедленным. Величина ω здесь — это некоторая начальная скорость, которой вращающееся тело обладало до появления ускорения.

Для равноускоренного движения не существует конечной скорости, поскольку она может возрастать сколь угодно долго. Для равнозамедленного движения конечным состоянием будет прекращение вращения, то есть ω = 0.

Теперь запишем формулы для определения угла θ при движении с постоянным ускорением. Эти формулы получаются, если произвести двойное интегрирование по времени для выражения α через θ. Получаются следующие выражения:

То есть центральный угол θ, на который тело повернется за время t, будет равен сумме двух слагаемых. Первое слагаемое — это вклад в θ равномерного движения, второе — равноускоренного (равнозамедленного).

Связь между угловыми и линейными величинами

При рассмотрении понятия угла поворота θ уже была приведена формула, которая его связывает с линейным расстоянием L. Здесь же рассмотрим аналогичные выражения для скорости ω и ускорения α.

Линейная скорость v при равномерном движении определяется как расстояние L, пройденное за время t, то есть:

Подставляя сюда выражение для L через θ, получаем:

Мы получили связь между линейной и угловой скоростью. Важно отметить, что удобство использования угловой скорости связано с тем, что она не зависит от радиуса окружности. В свою очередь, линейная скорость v возрастает линейно с увеличением r.

Остается записать связь между линейным ускорением a и его угловым аналогом α. Чтобы это сделать, запишем выражение для скорости v при равноускоренном движении без начальной скорости v. Получаем:

Подставляем сюда полученное выражение связи между v и ω:

Как и скорость, линейное ускорение, направленное по касательной к окружности, зависит от радиуса.

Ускорение центростремительное

Выше уже было сказано несколько слов об этой величине. Здесь приведем формулы, которые можно использовать для ее вычисления. Через скорость v выражение для центростремительного ускорения ac имеет вид:

Через угловую скорость его можно записать так:

Величина ac не имеет никакого отношения к тангенциальному ускорению a. Центростремительное ускорение обеспечивает поддержание вращающегося тела на одной окружности.

Задача на определение угловой скорости вращения планеты

Известно, что ближе всего к солнцу находится Меркурий. Полагая, что он вращается по окружности вокруг светила, мы можем определить его угловую скорость ω.

Для решения задачи следует обратиться к справочным данным. Из них известно, что планета делает полный оборот вокруг светила за 87 дней 23,23 часа земных. Это время называется периодом обращения. Учитывая, что движение происходит с постоянной угловой скоростью, запишем рабочую формулу:

Остается перевести время в секунды, подставить значение угла θ, соответствующее полному обороту (2*pi), и записать ответ: ω = 8,26*10 -7 рад/c.

Источник